¿Qué es la Matemática Discreta?
La matemática discreta estudia una serie de estructuras como algoritmos, grafos y teoría
de números, que son el fundamento de las ciencias de la computación.
Más que una rama de la matemática, la matemática discreta engloba a un conjunto de áreas
que se dedican al estudio de estructuras matemáticas “discretas” en vez de “continuas”.
Esto se lleva a cabo informalmente y con el único objetivo de comprender este concepto,
Pensemos que en que el cálculo infinitesimal se trabaja sobre los números reales, mientras
que la matemática discreta descansa sobre la base de los números naturales.
La matemática discreta estudia las estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por
uno separadamente, como los números enteros, grafos y sentencias lógicas, que son
aplicados en diferentes campos de la ciencia, principalmente en las ciencias de la
computación.
Principios Fundamentales del Conteo
El principio fundamental de conteo establece que el número de posibilidades en que
múltiples eventos pueden ocurrir se pueden determinar al multiplicar el número de
resultados posibles por cada evento.
Hay dos principios básicos de conteo, uno comprende la adición y otro la multiplicación
Regla de la Suma
Principio de la suma o adición: Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas y
un segundo evento F puede ocurrir en n formas, y supongamos que ambos eventos no
pueden ocurrir en forma simultánea (disjuntos o mutuamente excluyentes).
Entonces E o F pueden ocurrir de m+n formas
Ejemplo
Regla de la Multiplicación
Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente de este
evento, un evento F puede ocurrir en n formas.
Entonces las combinaciones de los eventos E y F pueden ocurrir en mn formas.
Ejemplo
¿de cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones y 3 camisas?
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
¿El orden Importa?
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
Se permite repetir: por ejemplo para abrir una cerradura puedes utilizar "333".
Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar
primero y segundo a la vez.
Permutaciones con Repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las
permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la
segunda elección, y así hasta llegar a la ultima posición.
Ejemplo
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de
ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Permutación sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Ejemplo
¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15
posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20.922.789.888.000
¿Y si no se eligen todos los elementos?
Combinaciones
Una combinación es un arreglo de elementos en donde el orden no importa.
Sin repetición: Si cada elemento puede aparecer como mucho una vez
Con repetición. En cambio si no hay esta restricción
Combinaciones sin Repetición
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el
orden. Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Ejemplo
De un grupo de 12 alumnos van a sacar su credencial en grupos de 3 en 3. ¿Cuántas
combinaciones se pueden realizar?
n= 12 (cantidad de alumnos totales)
r= 3 (variable)
Combinaciones con repetición
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: Naranja, Chocolate, Limón, Fresa y
Vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {N, C, L, F, V}. Algunos ejemplos son
{C, C, C} (3 de chocolate)
{N, L, V} (uno de Naranja, uno de Limón y uno de Vainilla)
{N, V, V} (uno de Naranja, dos de Vainilla)
En resumen: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: Naranja, Chocolate, Limón, Fresa y
Vainilla. Puedes tomar 3 bolas de helado. ¿Cuántas variaciones hay?
Conjuntos
Un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman
elementos o miembros del conjunto.
Notación de Conjuntos
Ejemplos
A = {Azul, Blanco}
B = {M, U, R, C, I, E, L, A, G, O}
C= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
D = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Determinación de Conjuntos
La determinación de un conjunto corresponde a la manera como éste puede expresarse.
Para determinar un conjunto se utilizan dos formas:
Determinación por extensión Determinación por comprensión.
Determinación por Extensión
Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos
del conjunto. Cuando el conjunto es finito se escriben entre llaves, separados por comas.
Cuando el conjunto es infinito se escriben entre llaves algunos elementos y se ponen puntos
suspensivos
D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…}
E={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Determinación de Conjuntos por Comprensión
Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que
distingue a los elementos.
Para tal fin se utiliza lo siguiente:
{x/x cumple la propiedad},
Ejemplo
A={x/ x es un color de la bandera de Guatemala}
B={x/ x es una letra de la palabra “murciélago”}
D={ x/ x es un número natural menor que 10}
E={ x/ x es número primo entre 0 y 20}
Relación de Conjuntos
Pertenencia
Inclusión
Igualdad
Operaciones de Conjuntos
Intersección
Unión
Diferencia
Diferencia Simétrica
Intersección de Conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos), es decir, es el conjunto formado por
todos los elementos repetidos
Notación
Ejemplo
Teniendo
A= {1, 4, 7, 9}
B = {1, 2, 9, 5}
C= {2, 4, 6, 9}
Calcular AΩB ΩC
AΩB ΩC = { 9 }
Unión de Conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes
y no comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos)
Notación
Ejemplo
Teniendo
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6, 8}
C= {3, 5, 7, 9}
Calcular A U B U C
AUBUC = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Diferencia de conjuntos
La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
no comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A,
pero no están en B
Notación
A – B
Ejemplo
Teniendo
A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {0, 2, 4, 6, 8}
Calcular
A – B B – A
A-B = {1, 3, 5}
B-A = {0, 6, 8}
Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los
elementos no comunes de ambos conjuntos; es decir, los elementos que no están repetidos
entre los conjuntos
Notación
A + B
Ejemplo
Teniendo
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {0, 2, 4, 6, 8}
Calcular
A + B
A+B = {1, 3, 5, 0, 6, 8}
Diagramas de Venn
Se pueden definir como círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las
relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para
organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos.
Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas
lógicos", se usan ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza,
lingüística, informática y negocios.
Operaciones con Conjuntos
Conjunto
Unión
A
Ejemplo
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
C = {3, 6, 9,}
A U B
A U B U C
Intersección
Diferencia
Diferencia Simétrica
Producto Cartesiano
El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto B es el conjunto constituido por
la totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo
componente en B.
Ejemplo
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
A * B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) (3,a) (3,b) (3,C)}
B * A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)
Forma Matricial
A
1
2
3
B
(1,a)
(2,a)
(3,a)
(1,b)
(2,b)
(3,b)
(1,c)
(2,c)
(3,c)
Forma Sagital
Diagrama del Árbol
Inducción Matemática
La inducción matemática es un método de demostración que se utiliza cuando se trata de
establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones.
El método es bastante natural para usarse en una variedad de situaciones en la ciencia de
la computación.
Los números naturales se definen de manera inductiva. Es decir, incluso hablando muy
informalmente, al describir los números naturales no podemos nombrar a todos los
números naturales puesto que son infinitos, lo que hacemos normalmente es decir algo
como “1 es un número natural, también 2 y 3 y 4 y así te sigues, si le sumas 1 a un número
natural te da otro número natural”.
Base Inducción Matemática
A * B
1
a b c
2
ab c
Analogía de los Dominós
Si ponemos todos nuestros dominós parados en una fila, necesitamos sólo asegurarnos de
dos cosas para que se caigan:
a) Que exista al menos un dominó que se caiga.
b) Que si un dominó cae, empuja al siguiente.
Para la primera parte, no tiene que ser el primer dominó. Si tiramos el primero, queremos
que se caigan todos; pero si tiramos el segundo o el tercero o el quinto, queremos que se
caigan todos después el que tiramos.
Para la segunda parte tenemos que asegurarnos que la distancia entre cada dos dominós
no sea demasiada o que estén en el ángulo correcto, porque si uno solo no empuja al que
sigue, entonces no se van a caer todos.
Los números naturales son como un conjunto infinito pero ordenado de dominós, donde
cada dominó tiene escrito un número. Las pruebas por inducción son como ordenar
nuestros dominós parados en una fila y ver si es posible empujar alguno para que se caigan
todos.
a) El caso base es asegurarse de que exista un primer dominó que se caiga.
b) El paso inductivo es suponer que si cumple para algún entero, cumple para el siguiente.
Como sabemos que cumple para el caso base, entonces cumple para el siguiente; como
cumple para el siguiente, cumple a su vez para su siguiente y así sucesivamente cumplen
todos los enteros a partir del caso base.
Esos dos pasos nos aseguran que se caen todos los dominós sin necesidad de verlos caer.
Ejemplo
Demostrar que para cualquier numero se cumple que:
Algoritmo de la División
Mínimo común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de
dos o más números.
Múltiplo
Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.
Múltiplo Común
Mínimo Común Múltiplo
Números Primos
Se dice que todo número natural mayor que uno (n ∈ N, n > 1) es un número primo, si sus
únicos divisores en el conjunto de los números naturales (N) son 1 y “n”. De este modo se
dice también que todo número no primo es un número compuesto.
Teorema Fundamental de la Aritmética
Todo número entero mayor que uno (n ∈ Z, n > 1), se descompone, como producto de
números primos, de manera única salvo el orden de los factores.
Teorema de la División
Dados enteros a, b con b diferente a 0, existen enteros q y r tales que
a = b q + r y 0 <= r < |b|
Al número a se le llama dividendo.
Al número b se le llama divisor.
Al número q se le llama cociente.
Al número r se le llama residuo.
Si queremos hallar el resultado de dividir 19 entre 5 tenemos: 19=5x3+4, es decir, que el
cociente es 3 y el residuo 4. Se puede observar que el residuo 4 es mayor que 0 y menor
que 5 que es el divisor.
a = 19
b = 5
q = 3
r = 4
Divisibilidad
Si x, b ∈ Z,
x divide a b , x⎥ b,
Se dice también que b es múltiplo de x o que x es divisor de b. En caso contrario, x∤b, x no
divide a b.
Máximo Común Divisor
Dados dos números enteros positivos su máximo común divisor no es más que el mayor de
los divisores comunes de ambos números
Ejemplo de cálculo del m.c.d. Tomemos 45 y 75. Los divisores de esos números son:
Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Divisores de 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75.
Algoritmo de Euclides
Euclides observó la división entera de dos números a, b, con a>b. La división entre a y b -
razonaba Euclides- es una relación entre dos enteros a y b como sigue:
a=b·c+r
Y en consecuencia:
m.c.d.(a, b)=m.c.d.(b, r)
Teoría de Grafos
En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos estudia las propiedades
de los grafos.
Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección
de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.
Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados
por líneas (las aristas).
Complementos de Grafo
Tipos de Grafos
Un grafo dirigido o grafo orientado, es un tipo de grafo en el cual el conjunto de las aristas
tiene una dirección definida, a diferencia del grafo generalizado, en el cual la dirección
puede estar especificada o no.
Grafo simple o simplemente grafo es aquel que acepta una sola una arista uniendo dos
vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que
une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo. No contiene aristas
paralelas, lazos ni aristas dirigidos.
Un grafo se dice conexo si, para cualquier par de vértices a y b en G, existe al menos una
trayectoria (una sucesión de vértices adyacentes que no repita vértices) de a a b.
Matriz de Adyacencia
Una de las maneras más fáciles de implementar un grafo es usar una matriz bidimensional.
En esta implementación de matriz, cada una de las filas y columnas representa un vértice
en el grafo. El valor que se almacena en la celda en la intersección de la fila X y la
columna Y indica si hay una arista desde el vértice X al vértice Y.
Ejemplo
Sub Grafos
Un subgrafo es un grafo que esta contenido dentro de otro grafo y que se obtiene
eliminando algunas aristas y vértices del grafo principal
Grafos isomorfos
Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre
sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.
¿Cómo probarlo? Buscando una función biyectiva que convierta los vértices de uno en otro,
preservando la estructura de las aristas.
Ejemplo
Grado de Vértice
El grado de un vértice se puede definir como la cantidad de aristas que parten desde o hacia
un mismo vértice
Rutas y Circuitos de Euler
Ruta de Euler: Una ruta o camino de Euler es una trayectoria que contiene todas las aristas
del grafo y recorre una arista exactamente una vez
Condiciones:
El Grafo debe de ser conexo
Exactamente 2 vértices son de grado impar, todos los demás deben de ser de grado par
Se comienza en uno de los vértices de grado impar y se termina en el otro vértice impar
Circuito de Euler
Un circuito de Euler es un Camino de Euler con la diferencia que empieza y termina en el
mismo vertice es decir es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez
Condiciones:
El grafo es conexo
Todos los vértices son de grado par
Se comienza y se termina en el mismo vertice
Grado 2
Grado 1
Ciclos y Caminos Hamiltonianos
Un camino hamiltoniano, en el campo matemático de la teoría de grafos, es un camino de
un grafo, una sucesión de aristas adyacentes, que visita todos los vértices del grafo una sola
vez. Si además el último vértice visitado es adyacente al primero, el camino es un ciclo
hamiltoniano.
Ejemplo
Coloración de Grafos
En Teoría de grafos, la coloración de grafos es un caso especial de etiquetado de grafos; es
una asignación de etiquetas llamadas colores a elementos del grafo. De manera simple,
una coloración de los vértices de un grafo tal que ningún vértice adyacente comparta el
mismo color es llamado vértice coloración.
B
F
A
C
D
Teoría de Arboles
Desde el punto de vista conceptual, un árbol es un caso particular de grafo, es un objeto
que comienza con una raíz y se extiende en ramificaciones o lineas que terminan en un
nodo.
Representan la estructura no-lineal y dinámica de datos más importante en computación.
Dinámica porque puede cambiar durante la ejecución de un programa y no-lineal porque
a cada elemento del árbol pueden seguirle varios elementos.
Es un conjunto de nodos y líneas. Un nodo es un elemento de información que reside en
un árbol. Una línea es un par de nodos ordenados, <u,v>, y a la secuencia de lineas se le
llama ruta (path).
Ejemplo
Un árbol es una estructura jerárquica aplicada a un conjunto de elementos
llamados nodos, uno de los cuales es conocido como raíz. Además, se crea una relación o
parentesco entre los nodos que da lugar a términos como padre, hijo, hermano,
antecesor, sucesor, ancestro.
En ciencias de la computación, un árbol es una estructura de datos comúnmente usada,
que emula la estructura de un árbol con un conjunto de nodos conectados.
Cada uno de los nodos de un árbol tiene cero o más nodos hijos, que están por debajo de
él (en ciencias de la computación, al contrario que en la naturaleza, los árboles crecen
hacia abajo, no hacia arriba).
El nodo del cual otro es hijo, es llamado su nodo padre.
Un hijo tiene como máximo un padre; un nodo sin padre es llamado nodo raíz (o
simplemente raíz).
Los nodos sin hijos son llamados hojas
Propiedades
Tiene un nodo al que se le llama "nodo raíz" o raíz del árbol, éste no tiene "padre".
Todos los nodos tienen una sola línea de entrada, excepto el nodo raíz, éste no tiene línea
de entrada.
Existe una "única" ruta del nodo raíz a todos los demás nodos del árbol.
Si existe una ruta <a,b>, entonces "b" es el "hijo" de "a" y es el nodo raíz de un sub-árbol.
Todos los nodos que son descendientes de un mismo nodo "padre", son "hermanos".
Todo nodo que no tiene ramificaciones (hijos), es un nodo "terminal" u "hoja".
Todo nodo que no es raíz ni terminal es un nodo "interior".
"Grado" es el número de descendientes directos de un determinado nodo.
"Grado del árbol" es el máximo grado de todos los nodos del árbol.
"Nivel" es el número de ramificaciones que se deben recorrer para llegar a un
determinado nodo. El nodo raíz tiene nivel 1.
"Altura del árbol" es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol.
Longitud de un Árbol
Es el número de arcos que deben ser recorridos desde la raíz hasta el nodo X.
Cuando hablamos de longitud de un árbol, debemos diferenciar los siguientes conceptos:
Longitud de camino.
Longitud de camino interno
Longitud de camino externo.
Longitud de camino
Se define la longitud de camino X como el número de arcos que deben ser recorridos para
llegar, desde la raíz, al nodo X.
Por definición, la raíz tiene longitud de camino 1, sus descendientes directos tienen
longitud de camino 2 y así sucesivamente.
Longitud de Camino Interno
Es la suma de las longitudes de camino de todos los nodos del árbol.
En donde i = nivel del árbol, h = altura del árbol, ni = número de nodos en el nivel "i".
Ejemplo
Medida de Longitud de Camino Interno
Es el número de arcos que deben ser recorridos en promedio para llegar de la raíz a un
nodo cualquiera del árbol.
En donde LCI = longitud de camino interno y "n" =número de nodos del árbol.
Longitud de Camino Externo
Árbol extendido: es aquel en el que el número de hijos de cada nodo es igual al grado del
árbol.
Para que se cumpla esta condición si es necesario se le agregan nodos especiales al árbol,
tantos como sea necesario para que se cumpla la condición.
Nodos especiales: su objetivo es reemplazar las ramas vacías o nulas y no pueden tener
descendientes.
La longitud de camino externo LCE es la suma de las longitudes de camino de todos los
nodos especiales de un árbol.
En donde "h" = altura del árbol, "i" = nivel del árbol y "nei" = número de nodos especiales
en el nivel "i".
Ejemplo
Media de la Longi
tud de Camino Externo
Es el número de arcos que deben ser recorridos en promedio desde la raíz hasta un nodo
especial cualquiera del árbol.
En donde LCE = longitud de camino externo y "ne" = número de nodos especiales.
Arboles Binarios
Un árbol binario es un tipo de árbol en que cada vértice máximo puede tener dos hijos; su
nodo raíz está enlazado a dos subárboles binarios disjuntos denominados subárbol
izquierdo y subárbol derecho. Los árboles binarios no son vacíos ya que como mínimo
tienen el nodo raíz.
Árbol Binario Lleno
Es aquel árbol en el que los nodos de cada nivel tienen sus dos hijos o ninguno (si es hoja).
Árbol Binario Completo
Es aquel árbol binario lleno en que todas sus hojas están en el nivel n o n-1 considerando
que para un hijo derecho hay siempre un hijo izquierdo. Por lo tanto, todo árbol binario
lleno es completo, pero no la viceversa.
Propiedades de Árboles Binarios
Recorrido de un Árbol binario
Un recorrido en un árbol binario es Una operación que consiste en visitar todos sus
vértices o nodos, de tal manera que cada vértice se visite una sola vez.
Se distinguen tres tipos de recorrido: INORDEN, POSORDEN Y PREORDEN.
En cada recorrido se tiene en cuenta la posición de la raíz (de ahí su nombre) y que
siempre se debe ejecutar primero el hijo izquierdo y luego el derecho.
Recorrido Preorden
Preorden: (raíz, izquierdo, derecho). Para recorrer un árbol binario no vacío en preorden,
hay que realizar las siguientes operaciones recursivamente en cada nodo, comenzando
con el nodo de raíz:
Visite la raíz
Atraviese el sub-árbol izquierdo
Atraviese el sub-árbol derecho
Ejemplo
Recorrido Inorden
Inorden: (izquierdo, raíz, derecho). Para recorrer un árbol binario no vacío en inorden
(simétrico), hay que realizar las siguientes operaciones recursivamente en cada nodo:
1. Atraviese el sub-árbol izquierdo
2. Visite la raíz
3. Atraviese el sub-árbol derecho
Recorrido Postorden
Postorden: (izquierdo, derecho, raíz). Para recorrer un árbol binario no vacío en
postorden, hay que realizar las siguientes operaciones recursivamente en cada nodo:
1. Atraviese el sub-árbol izquierdo
2. Atraviese el sub-árbol derecho
3. Visite la raíz
Árbol Binario de Busqueda
Un árbol binario de búsqueda es aquel que tiene sus nodos con un orden definido, de tal
manera que los datos del subárbol izquierdo son menores y los del subárbol derecho son
mayores.
Estos árboles tienen como particularidad la permisión de que se puedan realizar
búsquedas de nodos o datos determinados, utilizando el método de búsqueda binaria de
manera similar al usado en arreglos.
Para crear un árbol binario de búsqueda a partir un listado de datos, asuma que el primer
dato es la raíz del árbol; los demás se ubican en el árbol así: los menores como hijos
izquierdos y los mayores como hijos derechos.
Algebre Vectorial
Cantidades Escalares y Vectoriales
Cantidad Escalar:
Esta especificada por un valor con la unidad apropiada
Ejemplo: Temperatura, Masa, Volumen, Tiempo
Estas cantidades pueden tener valores positivos, negativos o tener un valor cero
Sus operaciones matemáticas se realizan utilizando las reglas de la aritmética
Cantidad Vectorial
Son aquellas que quedan totalmente definidas con un módulo, una dirección y un sentido.
Es el caso de la fuerza, la velocidad, el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario
especificar hacia dónde se dirigen y, en algunos casos dónde se encuentran aplicadas.
Todas las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que se
simbolizan a través de una flecha.
Vector
Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido.
Los vectores se representan goemétricamente con flechas y se le asigna por lo general una
letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha
Modulo
está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la
magnitud ( número). Se denota con la letra solamente A o |A|
Dirección
Corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje
horizontal imaginario. También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x,
y, z) como también los puntos cardinales para la dirección.
Sentido
está indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o
un signo negativo).
Sistema de Coordenadas Cartesianas
Ejemplo
Operaciones Geométricas Vectoriales
Suma de Vectores: Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o
resultante). Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como
“regla del paralelogramo”. Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores
como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma.
Resta Geométrica de Vectores
Para la resta se procede de la misma forma que la suma, pero el vector que resta se debe
dibujar con sentido contrario, o sea el signo negativo cambia el sentido del vector. Luego
el vector resultante es el que va desde el punto inicial del primer vector, hasta el final del
vector que se le cambio el sentido.
Ejemplo
Multiplicación de un escalar por un vector